BZOJ2356 不等式

Luogu

IDLGP10640

Time1000ms

Memory512MB

DifficultyP6

O2优化微积分

数学中有很多不等式，比如，当 $x,y>0$ 时： $$x^2+y^2 \geq 2xy$$ $$x^3+y^3 \geq x^2y+xy^2$$ 输入两个分别齐次且系数非负的二元多项式 $f(x,y)$ 和 $g(x,y)$，判断是否存在 $A,r>0$，满足对于任意 $x,y>0$，都有 $f(x,y)\geq Ag(x,y)^r$。 ## Input 包含多组数据，相邻两组数据之间用一个空行隔开。每组数据包含两行。第一行包括 $n+2$ 个非负整数 $n,a_0,a_1,\dots,a_n$，其中 $a_i$ 不全为 $0$，表示 $f(x,y)=a_0x^n+a_1x^{n-1}y+\dots+a_ny^n$。第二行包括 $m+2$ 个非负整数 $m,b_0,b_1,\dots,b_m$，其中 $b_i$ 不全为 $0$，表示 $g(x,y)=b_0x^m+b_1x^{m-1}y+\dots+b_my^m$。 ## Output 对于每组数据，输出一行，若存在则输出 `YES`，否则输出 `NO`。 [samples] ## Note **【样例解释】** - 对于第一组样例，$x+y \geq \sqrt{2xy}$。 - 对于第二组样例，$x^2+xy+y^2\geq \sqrt[3]{(x^3+y^3)^2}$，展开易证。 - 对于第三组样例，反设 $x^5+x^2y^3 \geq A(x^3y^2+y^5)^r$，对于所有正数 $x,y$ 都成立。取 $x=y$，得 $2x^5\geq A(2x^5)^r$，若 $r>1$，则 $x$ 取充分大时不等式不成立，若 $r<1$，则 $x$ 取足够小时不等式不成立，所以 $r=1$。再取 $x=1$，得 $1+y^3 \geq A(y^2+y^5)$，即 $1\geq Ay^2$，不可能对所有正数 $y$ 成立，故不存在 $A,r$。 **【数据范围】** 最多包含 $100$ 组数据，且 $1\leq n,m\leq 100$，系数大小不超过 $10^4$。

Samples

Input #1

1 1 1
2 0 1 0

2 1 1 1
3 1 0 0 1

5 1 0 0 1 0 0
5 0 0 1 0 0 1

Output #1

YES
YES
NO

API Response (JSON)

{
  "problem": {
    "name": "BZOJ2356 不等式",
    "description": {
      "content": "数学中有很多不等式，比如，当 $x,y>0$ 时： $$x^2+y^2 \\geq 2xy$$ $$x^3+y^3 \\geq x^2y+xy^2$$ 输入两个分别齐次且系数非负的二元多项式 $f(x,y)$ 和 $g(x,y)$，判断是否存在 $A,r>0$，满足对于任意 $x,y>0$，都有 $f(x,y)\\geq Ag(x,y)^r$。",
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    "limit": {
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    "is_sync": true,
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  "statements": [
    {
      "statement_type": "Markdown",
      "content": "数学中有很多不等式，比如，当 $x,y>0$ 时：\n\n$$x^2+y^2 \\geq 2xy$$\n\n$$x^3+y^3 \\geq x^2y+xy^2$$\n\n输入两个分别齐次且系数非负的二元多项式 $f(x,y)$ 和 $g(x,y)$，判断是否存在 $A,r>0$，满足对于任意 $x,y>0$，都有 $f(x,y)\\geq Ag(x,y)^r$。\n\n## Input\n\n包含多组数据，相邻两组数据之间...",
      "is_translate": false,
      "language": "English"
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