高洁（Purity）

Luogu

IDLGP10322

Time1000ms

Memory512MB

DifficultyP6

数学数论洛谷原创O2优化莫比乌斯反演拉格朗日插值法洛谷比赛

拉姆使用「暴风箭雨」一次射出了 $n$ 支箭，其中第 $i$ 支箭的原始攻击力是 $i$。不过，这些箭会经过一些强化。对于常数 $d$，设原始攻击力为 $i$ 的箭，其**能级**为 $v(i)$： - 若不存在正整数 $k$ 使得 $i^k$ 是 $d$ 的整数倍，则 $v(i)=0$； - 否则 $v(i)$ 为**最小的**、使得 $i^k$ 是 $d$ 的整数倍的正整数 $k$。那么这支箭强化后的攻击力为 $i^{v(i)+1}$。拉姆想知道所有箭在**强化后**的攻击力之和，由于答案可能很大，你只需要求出答案对 $998244353$ 取模的结果。（即求出答案除以 $998244353$ 的余数） ## Input 第一行一个正整数 $T$，表示数据组数。接下来 $T$ 行，每行两个正整数 $n,d$，意义如题目描述。 ## Output 输出 $T$ 行，每行对应一组数据的答案。 [samples] ## Background 简洁、准确而永恒的美丽 —— 高洁。 **** 「高洁之光」拉姆，身为精灵王的他可以完美使用《阿梅斯草纸书》的力量。 ## Note 【样例解释】对于第一组数据，$d=12$。其中 $v(6)=2$，因为 $12$ 能整除 $6^2$，而不整除 $6^1$，同样也能得到 $v(12)=1$。可以发现 $n=15$ 以内的其它数能级都为 $0$，故答案为： $$\left(\sum_{i=1}^{15}i\right)-6-12+6^3+12^2=462$$ 对于第二组数据，可以证明 $n$ 以内只有 $v(210)=3$ 非零，由此可以算出答案为 $1944889990$，对 $998244353$ 取模后为 $946645637$。【数据范围】 **本题采用捆绑测试。** Subtask 1（15 pts）：$1 \le n,d \le 10^4$； Subtask 2（15 pts）：$d$ 为质数； Subtask 3（20 pts）：$d$ 为质数的正整数幂； Subtask 4（20 pts）：不存在大于 $1$ 的整数 $x$，使得 $x^4$ 整除 $d$； Subtask 5（30 pts）：无特殊限制。对于全部数据，$1\le T \le 1000$，$1\le n < 2^{63}$，$1\le d \le 10^8$。【提示】此题的时间限制较为宽松，即使你的代码在某些细节上没有优化，也可以正常通过此题。

Samples

Input #1

5
15 12
400 2520
5000000 68256
10000000 65536
10000000000 3628800

Output #1

API Response (JSON)

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    "name": "高洁（Purity）",
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