{"problem":{"name":"高洁（Purity）","description":{"content":"拉姆使用「暴风箭雨」一次射出了 $n$ 支箭，其中第 $i$ 支箭的原始攻击力是 $i$。不过，这些箭会经过一些强化。 对于常数 $d$，设原始攻击力为 $i$ 的箭，其**能级**为 $v(i)$： - 若不存在正整数 $k$ 使得 $i^k$ 是 $d$ 的整数倍，则 $v(i)=0$；   - 否则 $v(i)$ 为**最小的**、使得 $i^k$ 是 $d$ 的整数倍的正整数 $k$。","description_type":"Markdown"},"platform":"Luogu","limit":{"time_limit":1000,"memory_limit":524288},"difficulty":{"LuoguStyle":"P6"},"is_remote":true,"is_sync":true,"sync_url":null,"sign":"LGP10322"},"statements":[{"statement_type":"Markdown","content":"拉姆使用「暴风箭雨」一次射出了 $n$ 支箭，其中第 $i$ 支箭的原始攻击力是 $i$。不过，这些箭会经过一些强化。\n\n对于常数 $d$，设原始攻击力为 $i$ 的箭，其**能级**为 $v(i)$：\n\n- 若不存在正整数 $k$ 使得 $i^k$ 是 $d$ 的整数倍，则 $v(i)=0$；  \n- 否则 $v(i)$ 为**最小的**、使得 $i^k$ 是 $d$ 的整数倍的正整数 $k$。\n\n那么这支箭强化后的攻击力为 $i^{v(i)+1}$。\n\n拉姆想知道所有箭在**强化后**的攻击力之和，由于答案可能很大，你只需要求出答案对 $998244353$ 取模的结果。（即求出答案除以 $998244353$ 的余数）\n\n## Input\n\n第一行一个正整数 $T$，表示数据组数。  \n接下来 $T$ 行，每行两个正整数 $n,d$，意义如题目描述。\n\n## Output\n\n输出 $T$ 行，每行对应一组数据的答案。\n\n[samples]\n\n## Background\n\n简洁、准确而永恒的美丽 —— 高洁。\n****\n「高洁之光」拉姆，身为精灵王的他可以完美使用《阿梅斯草纸书》的力量。\n\n## Note\n\n【样例解释】   \n对于第一组数据，$d=12$。其中 $v(6)=2$，因为 $12$ 能整除 $6^2$，而不整除 $6^1$，同样也能得到 $v(12)=1$。\n可以发现 $n=15$ 以内的其它数能级都为 $0$，故答案为：\n\n$$\\left(\\sum_{i=1}^{15}i\\right)-6-12+6^3+12^2=462$$\n\n对于第二组数据，可以证明 $n$ 以内只有 $v(210)=3$ 非零，由此可以算出答案为 $1944889990$，对 $998244353$ 取模后为 $946645637$。\n\n【数据范围】  \n**本题采用捆绑测试。**\n\nSubtask 1（15 pts）：$1 \\le n,d \\le 10^4$；  \nSubtask 2（15 pts）：$d$ 为质数；  \nSubtask 3（20 pts）：$d$ 为质数的正整数幂；  \nSubtask 4（20 pts）：不存在大于 $1$ 的整数 $x$，使得 $x^4$ 整除 $d$；  \nSubtask 5（30 pts）：无特殊限制。\n\n对于全部数据，$1\\le T \\le 1000$，$1\\le n < 2^{63}$，$1\\le d \\le 10^8$。\n\n【提示】  \n此题的时间限制较为宽松，即使你的代码在某些细节上没有优化，也可以正常通过此题。","is_translate":false,"language":"English"}],"meta":{"iden":"LGP10322","tags":["数学","数论","洛谷原创","O2优化","莫比乌斯反演","拉格朗日插值法","洛谷比赛"],"sample_group":[["5\n15 12\n400 2520\n5000000 68256\n10000000 65536\n10000000000 3628800","462\n946645637\n231125775\n290821843\n602104955"]],"created_at":"2026-03-03 11:09:25"}}