E. Числа

Codeforces
IDCF10274E
Time2000ms
Memory256MB
Difficulty
English · Original
Formal · Original
Марина любит нечётные значения. Однажды она выписала на доске все от $A$ до $B$ включительно, а затем стерла те числа, сумма цифр которых чётна. Определите, сколько чисел осталось на доске. Программа получает на вход два натуральных числа $A$ и $B$, $A <=.slant B$. Программа должна вывести единственное число — количество чисел с нечётной суммой цифр из выписанных на доске. Решение правильно работающее для случая, когда числа $A$ и $B$ однозначные, будет оцениваться в 20 баллов. Решение, правильно работающее для случая, когда числа $A$ и $B$ не превосходят 100, будет оцениваться в 40 баллов. Решение, правильно работающее для случая, когда числа $A$ и $B$ не превосходят 10000, будет оцениваться в 60 баллов. В 100 баллов оценивается решение, которое работает для случаев когда числа $A$ и $B$ не превосходят $10^9$. ## Входные Данные Программа получает на вход два натуральных числа $A$ и $B$, $A <=.slant B$. ## Выходные Данные Программа должна вывести единственное число — количество чисел с нечётной суммой цифр из выписанных на доске. ## Примеры Входные данные10 20 Выходные данные5 Входные данные20 20 Выходные данные0 ## Система Оценки Решение правильно работающее для случая, когда числа $A$ и $B$ однозначные, будет оцениваться в 20 баллов.Решение, правильно работающее для случая, когда числа $A$ и $B$ не превосходят 100, будет оцениваться в 40 баллов.Решение, правильно работающее для случая, когда числа $A$ и $B$ не превосходят 10000, будет оцениваться в 60 баллов.В 100 баллов оценивается решение, которое работает для случаев когда числа $A$ и $B$ не превосходят $10^9$. [samples]
**Definitions** Let $ w, h \in \mathbb{Z}^+ $ be the width and height of the grocery store map. A racetrack is a rectangle defined by two corners $ (x_1, y_1), (x_2, y_2) $ with $ 0 \le x_1 < x_2 \le w $ and $ 0 \le y_1 < y_2 \le h $. **Constraints** All such rectangles are equally likely. **Objective** Compute the expected perimeter $ \mathbb{E}[P] $ of a randomly chosen rectangle, where the perimeter of a rectangle with width $ \Delta x = x_2 - x_1 $ and height $ \Delta y = y_2 - y_1 $ is: $$ P = 2(\Delta x + \Delta y) $$ Thus, $$ \mathbb{E}[P] = 2 \left( \mathbb{E}[\Delta x] + \mathbb{E}[\Delta y] \right) $$ Where: $$ \mathbb{E}[\Delta x] = \frac{1}{\binom{w+1}{2}} \sum_{0 \le x_1 < x_2 \le w} (x_2 - x_1), \quad \mathbb{E}[\Delta y] = \frac{1}{\binom{h+1}{2}} \sum_{0 \le y_1 < y_2 \le h} (y_2 - y_1) $$ It is known that: $$ \sum_{0 \le i < j \le n} (j - i) = \binom{n+1}{3} $$ Therefore: $$ \mathbb{E}[\Delta x] = \frac{\binom{w+1}{3}}{\binom{w+1}{2}} = \frac{w(w-1)/6}{w(w+1)/2} = \frac{w-1}{3}, \quad \mathbb{E}[\Delta y] = \frac{h-1}{3} $$ Hence: $$ \mathbb{E}[P] = 2 \left( \frac{w-1}{3} + \frac{h-1}{3} \right) = \frac{2(w + h - 2)}{3} $$ **Final Expression** $$ \boxed{\left\lfloor \frac{2(w + h - 2)}{3} + 0.5 \right\rfloor} $$
API Response (JSON)
{
  "problem": {
    "name": "E. Числа",
    "description": {
      "content": "Марина любит нечётные значения. Однажды она выписала на доске все от $A$ до $B$ включительно, а затем стерла те числа, сумма цифр которых чётна. Определите, сколько чисел осталось на доске. Программа",
      "description_type": "Markdown"
    },
    "platform": "Codeforces",
    "limit": {
      "time_limit": 2000,
      "memory_limit": 262144
    },
    "difficulty": "None",
    "is_remote": true,
    "is_sync": true,
    "sync_url": null,
    "sign": "CF10274E"
  },
  "statements": [
    {
      "statement_type": "Markdown",
      "content": "Марина любит нечётные значения. Однажды она выписала на доске все от $A$ до $B$ включительно, а затем стерла те числа, сумма цифр которых чётна. Определите, сколько чисел осталось на доске.\n\nПрограмма...",
      "is_translate": false,
      "language": "English"
    },
    {
      "statement_type": "Markdown",
      "content": "**Definitions**  \nLet $ w, h \\in \\mathbb{Z}^+ $ be the width and height of the grocery store map.  \nA racetrack is a rectangle defined by two corners $ (x_1, y_1), (x_2, y_2) $ with $ 0 \\le x_1 < x_2 ...",
      "is_translate": false,
      "language": "Formal"
    }
  ]
}
Full JSON Raw Segments