[USACO24JAN] Island Vacation P

Bessie 正在一个 $N$（$2\le N\le 10^4$）座岛组成的岛屿网络中度假，编号为 $1\ldots N$，由 $M$ 座双向通行的桥连接，每座桥连接两座岛（$N−1\le M\le \dfrac{3(N-1)}{2}$）。保证所有桥形成连通的简单图（具体地说，没有两座桥连接同一对岛屿，也没有一座桥连接一座岛到其自身）。 另外保证没有一座桥处在多于一个简单环上。一个简单环是一个不包含重复岛的环。 Bessie 从岛 $1$ 开始，按以下过程旅行。假设她目前在岛 $i$ 上， 1. 如果不存在连接岛 $i$ 的她尚未穿过的桥，则她的度假结束。 2. 否则，以 $p_i \pmod {10^9+7}$ 的概率，她的度假结束。 3. 否则，在连接岛 $i$的所有她还没有穿过的桥中，她均匀地随机选择一座并穿过它。 对于每座岛，输出她在该岛上结束度假的概率，对 $10^9+7$ 取模。 ## Input 输入的第一行包含独立的测试用例的数量 $T$（$1\le T\le 10$）。相邻的测试用例之间以一个空行分隔。 每一个测试用例的第一行包含 $N$ 和 $M$，其中 $N$ 为岛的数量，$M$ 为桥的数量。输入保证所有测试用例的 $N$ 之和不超过 $10^4$。 第二行包含 $p_1,p_2,\ldots,p_N$（$0\le p_i<10^9+7$）。 以下 $M$ 行描述所有的桥。第 $i$ 行包含整数 $u_i$ 和 $v_i$（$1\le u_i<v_i\le N$），表示第 $i$ 座桥连接岛 $u_i$ 和 $v_i$。输入保证所有桥满足上文中的限制。 ## Output 对于每个测试用例输出一行，包含在岛 $1$ 到 $N$ 的每一座岛上结束度假的概率模 $10^9+7$ 的余数，用空格分隔。 [samples] ## Note ### 样例解释 1 在第一个测试用例中，$p_3\equiv \frac{1}{9}\pmod {10^9+7}$。Bessie 有 $\frac{1}{9}$ 的概率在岛 $3$ 结束（经过路径 $1\to 3$），$\frac{8}{9}$ 的概率在岛 $2$ 结束（经过路径 $1\to 3\to 2$）。 在第二个测试用例中，$p_1\equiv \frac{1}{2}\pmod {10^9+7}$。Bessie 有 $\frac{1}{2}$ 的概率在岛 $1$ 结束，各 $\frac{1}{6}$ 的概率在岛 $2$ 和 $3$ 结束，各 $\frac{1}{12}$ 的概率在岛 $4$ 和岛 $6$ 结束。 ### 样例解释 2 在第一个测试用例中，$p_1\equiv p_2\equiv \frac{1}{3}\pmod {10^9+7}$。Bessie 有 $\frac{7}{9}$ 的概率在岛 $1$ 结束（经过路径 $1$，$1\to 2\to 3\to 4\to 5\to 1$ 与 $1\to 5\to 4\to 3\to 2\to 1$ 之一），$\frac{2}{9}$ 的概率在岛 $2$ 结束。 在第二个测试用例中，Bessie 有 $\frac{1}{3}$ 的概率在岛 $3$ 结束，$\frac{2}{3}$ 的概率在岛 $5$ 结束。 ### 测试点性质 - 测试点 $4-5$：$N\le 11$。 - 测试点 $6-7$：不存在简单环。 - 测试点 $8-11$：没有一座岛处在多于一个简单环上。 - 测试点 $12-15$：没有一座岛处在多于 $5$ 个简单环上。 - 测试点 $16-19$：没有一座岛处在多于 $50$ 个简单环上。 - 测试点 $20-23$：没有额外限制。