C. Save Energy!

Julia 计划在宿舍的厨房里煮一只鸡。为了节约能源，厨房里的炉子在开启后 #cf_span[k] 分钟会自动关闭。 在烹饪过程中，Julia 每隔 #cf_span[d] 分钟会去一次厨房，如果炉子关闭了，就将其重新打开。当炉子关闭时，食物仍保持温热。炉子的开关是瞬时的。 已知，如果炉子开启，鸡需要 #cf_span[t] 分钟才能煮熟；如果炉子关闭，则需要 #cf_span[2t] 分钟。你需要计算，假设鸡在炉子开启时以恒定速度煮熟，在炉子关闭时也以恒定速度煮熟，那么 Julia 煮熟这只鸡总共需要多少时间。 输入仅一行，包含三个整数 #cf_span[k], #cf_span[d] 和 #cf_span[t]（#cf_span[1 ≤ k, d, t ≤ 1018]）。 请输出一个数字，表示烹饪的总时间（分钟）。相对误差或绝对误差不得超过 #cf_span[10 - 9]。 具体而言，假设你的答案是 #cf_span[x]，标准答案是 #cf_span[y]，当满足 时，判题程序将认为你的答案正确。 在第一个例子中，鸡在开启的炉子上煮了 3 分钟，之后在关闭的炉子上煮了 。接着，鸡在关闭的炉子上又煮了 1 分钟，完成了 。因此，4 分钟后，鸡已经煮了 。在第 5 分钟之前，Julia 重新打开了炉子，再经过 #cf_span[2.5] 分钟，鸡就煮好了。 在第二个例子中，当炉子关闭时，Julia 立即将其打开，因此炉子始终开启，鸡在 20 分钟内煮熟。 ## Input 输入仅一行，包含三个整数 #cf_span[k], #cf_span[d] 和 #cf_span[t]（#cf_span[1 ≤ k, d, t ≤ 1018]）。 ## Output 请输出一个数字，表示烹饪的总时间（分钟）。相对误差或绝对误差不得超过 #cf_span[10 - 9]。具体而言，假设你的答案是 #cf_span[x]，标准答案是 #cf_span[y]，当满足 时，判题程序将认为你的答案正确。 [samples] ## Note 在第一个例子中，鸡在开启的炉子上煮了 3 分钟，之后在关闭的炉子上煮了 。接着，鸡在关闭的炉子上又煮了 1 分钟，完成了 。因此，4 分钟后，鸡已经煮了 。在第 5 分钟之前，Julia 重新打开了炉子，再经过 #cf_span[2.5] 分钟，鸡就煮好了。在第二个例子中，当炉子关闭时，Julia 立即将其打开，因此炉子始终开启，鸡在 20 分钟内煮熟。

**Definitions** Let $ k, d, t \in \mathbb{Z}^+ $ be given integers with $ 1 \leq k, d, t \leq 10^{18} $. Let the stove cycle be defined as follows: - The stove turns on at time $ 0 $ and remains on for $ k $ minutes. - After $ k $ minutes, it turns off. - Julia checks the stove every $ d $ minutes and turns it on immediately if off. - The chicken requires $ t $ minutes of active stove time (stove on) or $ 2t $ minutes of passive time (stove off) to be fully cooked. Let $ r = k \mod d $. If $ r = 0 $, then $ r = d $. Define one full cycle length: $$ C = \begin{cases} d & \text{if } k \geq d \\ k & \text{if } k < d \end{cases} $$ But more accurately, the **effective cycle** is determined by the recurrence of Julia’s intervention: Let $ C = \min\{ x \in \mathbb{Z}^+ \mid x \geq k \text{ and } x \equiv 0 \pmod{d} \} $, i.e., $$ C = \left\lceil \frac{k}{d} \right\rceil \cdot d $$ Within one cycle of length $ C $: - Stove is **on** for $ k $ minutes. - Stove is **off** for $ C - k $ minutes. Let the cooking rates be: - On: $ \frac{1}{t} $ per minute. - Off: $ \frac{1}{2t} $ per minute. Cooking progress per cycle: $$ p = \frac{k}{t} + \frac{C - k}{2t} = \frac{2k + C - k}{2t} = \frac{k + C}{2t} $$ Let $ n $ be the number of full cycles needed to reach or exceed 1 unit of cooking: $$ n = \left\lfloor \frac{1}{p} \right\rfloor $$ Remaining progress after $ n $ cycles: $$ r_{\text{rem}} = 1 - n \cdot p $$ Then simulate the next partial cycle: - First, use the stove-on phase (up to $ k $ minutes) to cover $ r_{\text{rem}} $. - If not enough, use the stove-off phase. Let $ t_{\text{on}} = \min\left(k, r_{\text{rem}} \cdot t \right) $ Remaining after on-phase: $ r' = r_{\text{rem}} - \frac{t_{\text{on}}}{t} $ Let $ t_{\text{off}} = \begin{cases} r' \cdot 2t & \text{if } r' > 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $ Total time: $$ T = n \cdot C + t_{\text{on}} + t_{\text{off}} $$ **Constraints** $ 1 \leq k, d, t \leq 10^{18} $ **Objective** Compute total cooking time $ T $ with precision such that relative or absolute error $ \leq 10^{-9} $.