B. Code For 1

Jon 勇敢地战斗，营救了在 Hardhome 遭到白 walkers 攻击的野人。当他到达时，Sam 告诉他，他想去旧镇的学城接受训练，成为一名学士，以便返回黑城堡，接替已故的 Aemon 的位置。Jon 同意了 Sam 的提议，Sam 便启程前往学城。然而，成为学城的学徒并非易事，因此学城的学士们给了 Sam 一个问题来测试他的资格。 最初，Sam 有一个仅包含一个元素 #cf_span[n] 的列表。然后他必须对该列表执行某些操作。在每次操作中，Sam 必须从列表中移除任意一个满足 #cf_span[x > 1] 的元素 #cf_span[x]，并在相同位置依次插入 #cf_span[x / 2], #cf_span[x % 2], #cf_span[x / 2]。他必须持续进行这些操作，直到列表中的所有元素均为 #cf_span[0] 或 #cf_span[1]。 现在，学士们希望知道在区间 #cf_span[l] 到 #cf_span[r]（1-索引）中 #cf_span[1] 的总数。Sam 想成为一名学士，但他无法解决这个问题。你能帮助 Sam 通过资格测试吗？ 第一行包含三个整数 #cf_span[n], #cf_span[l], #cf_span[r]（#cf_span[0 ≤ n < 250], #cf_span[0 ≤ r - l ≤ 105], #cf_span[r ≥ 1], #cf_span[l ≥ 1]）——初始元素和区间 #cf_span[l] 到 #cf_span[r]。 保证 #cf_span[r] 不超过最终列表的长度。 请输出最终序列中区间 #cf_span[l] 到 #cf_span[r] 中 #cf_span[1] 的总数。 考虑第一个例子： 列表中从第 #cf_span[2] 个到第 #cf_span[5] 个位置的元素为 #cf_span[[1, 1, 1, 1]]。其中 1 的数量为 #cf_span[4]。 对于第二个例子： 列表中从第 #cf_span[3] 个到第 #cf_span[10] 个位置的元素为 #cf_span[[1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0]]。其中 1 的数量为 #cf_span[5]。 ## Input 第一行包含三个整数 #cf_span[n], #cf_span[l], #cf_span[r]（#cf_span[0 ≤ n < 250], #cf_span[0 ≤ r - l ≤ 105], #cf_span[r ≥ 1], #cf_span[l ≥ 1]）——初始元素和区间 #cf_span[l] 到 #cf_span[r]。保证 #cf_span[r] 不超过最终列表的长度。 ## Output 请输出最终序列中区间 #cf_span[l] 到 #cf_span[r] 中 #cf_span[1] 的总数。 [samples] ## Note 考虑第一个例子： 列表中从第 #cf_span[2] 个到第 #cf_span[5] 个位置的元素为 #cf_span[[1, 1, 1, 1]]。其中 1 的数量为 #cf_span[4]。 对于第二个例子： 列表中从第 #cf_span[3] 个到第 #cf_span[10] 个位置的元素为 #cf_span[[1, 1, 1, 0, 1, 0, 1, 0]]。其中 1 的数量为 #cf_span[5]。

**Definitions:** - Let $ n \in \mathbb{N} $, $ n < 2^{50} $, be the initial single element. - Define a transformation rule: any element $ x > 1 $ is replaced by the sequence $ [x-1, x-2, x-1] $ at the same position. - The process continues recursively until all elements are $ 0 $ or $ 1 $. - Let $ S(n) $ denote the final binary sequence (composed of $ 0 $s and $ 1 $s) obtained by recursively applying the transformation to the initial element $ n $. **Given:** - Integers $ n, l, r \in \mathbb{N} $, with $ 0 \leq n < 2^{50} $, $ 1 \leq l \leq r $, and $ r - l \leq 10^5 $. - It is guaranteed that $ r \leq |S(n)| $, the length of the final sequence. **Objective:** Compute the number of $ 1 $s in the subsequence $ S(n)[l:r] $ (inclusive, 1-indexed). --- **Mathematical Formulation:** Let $ f(x) $ be the final sequence generated from initial value $ x $, defined recursively by: $$ f(x) = \begin{cases} [1] & \text{if } x = 1 \\ [0] & \text{if } x = 0 \\ f(x-1) + f(x-2) + f(x-1) & \text{if } x > 1 \end{cases} $$ Let $ L(x) = |f(x)| $, the length of the sequence for initial value $ x $, defined by: $$ L(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } x = 0 \text{ or } x = 1 \\ 2 \cdot L(x-1) + L(x-2) & \text{if } x > 1 \end{cases} $$ Let $ C(x, i, j) $ be the count of $ 1 $s in $ f(x)[i:j] $ (1-indexed, inclusive), for $ 1 \leq i \leq j \leq L(x) $. We are to compute $ C(n, l, r) $. --- **Note:** Due to the exponential growth of $ L(x) $, direct construction of $ f(n) $ is infeasible. Instead, use recursive divide-and-conquer with memoization over $ x $, and range queries based on the recursive structure of $ f(x) = f(x-1) + f(x-2) + f(x-1) $.