H. Число множеств с разделенными элементами

Codeforces

IDCF10144H

Time2000ms

Memory256MB

Difficulty—

English · Original

Formal · Original

Вам даны два числа n и k. Назовем подмножество A множества {1, ..., n} хорошим, если любые два различные элемента A различаются не менее, чем на k. Найдите количество хороших множеств максимальной мощности. Так как ответ может быть достаточно большим, выведите его по модулю 109 + 7. В первой строке дано целое число T – количество тестов, 1 ≤ T ≤ 105. В следующих T строках через пробел даны по два целых числа 1 ≤ n ≤ 105 и 1 ≤ k ≤ 109. Для каждого теста в отдельной строке выведите одно целое число – искомое количество множеств по модулю 109 + 7. ## Входные Данные В первой строке дано целое число T – количество тестов, 1 ≤ T ≤ 105.В следующих T строках через пробел даны по два целых числа 1 ≤ n ≤ 105 и 1 ≤ k ≤ 109. ## Выходные Данные Для каждого теста в отдельной строке выведите одно целое число – искомое количество множеств по модулю 109 + 7. ## Пример Входные данные410 410 110 104 3Выходные данные41101 [samples]

**Definitions** Let $ n, m \in \mathbb{Z}^+ $ denote the number of regions and queries, respectively. Let $ A = (a_1, a_2, \dots, a_n) $ be a sequence where $ a_i \in \mathbb{Z}_{\geq 0} $: - $ a_i = 0 $ indicates a water source at region $ i $, - $ a_i > 0 $ indicates a tree of height $ a_i $ at region $ i $. Let $ W = \{ i \in \{1, \dots, n\} \mid a_i = 0 \} $ be the set of water source positions. For a given water level $ H \geq 0 $, define the *flooded region* from a water source at position $ i $ as the maximal contiguous interval $ [l_i, r_i] $ such that: - $ l_i = \min \{ j \in \{1, \dots, i\} \mid \forall k \in [j, i-1],\ a_k < H \} \cup \{1\} $, - $ r_i = \max \{ j \in \{i, \dots, n\} \mid \forall k \in [i+1, j],\ a_k < H \} \cup \{n\} $. Define the *wet region set* under water level $ H $ as: $$ F(H) = \bigcup_{i \in W} [l_i, r_i] $$ **Constraints** 1. $ 1 \leq n, m \leq 10^6 $ 2. $ 0 \leq a_i \leq 10^9 $ for all $ i \in \{1, \dots, n\} $ 3. For each query: $ 1 \leq L \leq R \leq n $, $ 0 \leq H \leq 10^9 $ **Objective** For each query $ (L, R, H) $, determine: $$ \text{Is } F(H) \cap [L, R] \neq \emptyset \text{?} $$ Output "Yes" if true, "No" otherwise.

API Response (JSON)

{
  "problem": {
    "name": "H. Число множеств с разделенными элементами",
    "description": {
      "content": "Вам даны два числа n и k. Назовем подмножество A множества {1, ..., n} хорошим, если любые два различные элемента A различаются не менее, чем на k. Найдите количество хороших множеств максимальной мощ",
      "description_type": "Markdown"
    },
    "platform": "Codeforces",
    "limit": {
      "time_limit": 2000,
      "memory_limit": 262144
    },
    "difficulty": "None",
    "is_remote": true,
    "is_sync": true,
    "sync_url": null,
    "sign": "CF10144H"
  },
  "statements": [
    {
      "statement_type": "Markdown",
      "content": "Вам даны два числа n и k. Назовем подмножество A множества {1, ..., n} хорошим, если любые два различные элемента A различаются не менее, чем на k. Найдите количество хороших множеств максимальной мощ...",
      "is_translate": false,
      "language": "English"
    },
    {
      "statement_type": "Markdown",
      "content": "**Definitions**  \nLet $ n, m \\in \\mathbb{Z}^+ $ denote the number of regions and queries, respectively.  \nLet $ A = (a_1, a_2, \\dots, a_n) $ be a sequence where $ a_i \\in \\mathbb{Z}_{\\geq 0} $:  \n- $ ...",
      "is_translate": false,
      "language": "Formal"
    }
  ]
}

Full JSON Raw Segments