{"problem":{"name":"「DTOI-2」星之影","description":{"content":"白极影化为立竿之人莅临人间，带来了星之函数 $f(x)$，它的值为最接近于 $\\sqrt[4]x$ 的整数$\\\\$（即 $f(x)=\\left\\lfloor\\sqrt[4]x+\\dfrac12\\right\\rfloor$；$\\lfloor u\\rfloor$ 为对 $u$ 向下取整后的值）。 现有 $t$ 个数字 $n$，对于每个 $n$，立竿人想知道 $\\sum\\limits_{i=1}^n\\","description_type":"Markdown"},"platform":"Luogu","limit":{"time_limit":2000,"memory_limit":131072},"difficulty":{"LuoguStyle":"P4"},"is_remote":true,"is_sync":true,"sync_url":null,"sign":"LGP8574"},"statements":[{"statement_type":"Markdown","content":"白极影化为立竿之人莅临人间，带来了星之函数 $f(x)$，它的值为最接近于 $\\sqrt[4]x$ 的整数$\\\\$（即 $f(x)=\\left\\lfloor\\sqrt[4]x+\\dfrac12\\right\\rfloor$；$\\lfloor u\\rfloor$ 为对 $u$ 向下取整后的值）。\n\n现有 $t$ 个数字 $n$，对于每个 $n$，立竿人想知道 $\\sum\\limits_{i=1}^n\\dfrac1{f(i)}$ 的值是多少，请你告诉它吧。\n\n---\n~~因为立竿人很急，所以~~本题的 $t$ 组询问强制在线，后一个询问需通过前一个询问的答案生成。\n\n可用以下 `C++` 代码生成（其他语言同理；需包含 `<stdio.h>`）：\n```cpp\ntypedef long long ll;\nchar buf_ans[114];\nll next_n(double last_ans=0,ll get_n=0){\n\t//last_ans<n<=1e18\n\tsprintf(buf_ans,\"%.6f\",last_ans);\n\tfor(ll i=0,x=0;;i++){\n\t\tif(buf_ans[i]=='.')return get_n^x;\n\t\tif(i&1)x*=10;\n\t\telse x=x*10+(buf_ans[i]^48);\n\t}\n}\n```\n该函数第一个参数为上一次询问的答案（第一次询问时该值为 $0$，也就是说第一个数未经加密），第二个参数为这一次读入的被加密的数，函数返回解密后的 $n$。\n\n## Input\n\n第一行一个整数 $t$，表示数据组数（询问次数）。\n\n对于每组数据，仅一行一个整数表示加密后的 $n$（第一个 $n$ 未被加密）。\n\n## Output\n\n每行输出一个六位小数，表示答案。\n\n[samples]\n\n## Background\n\n>闻是白极影，见时方立竿。\n\n## Note\n\n### 样例解释\n\n样例#1 解密后各组询问分别是：\n$$\n\\def\\r{\\cr\\hline}\n\\def\\arraystretch{1.5}\\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|}\\hline\n\\textbf{t}&1&2&3&4&5&6&7\\r\n\\textbf{n}&1&4&8&89&2022&1145141919810&1\\r\n\\end{array}\n$$\n### 数据范围\n\n**本题采用捆绑测试。**\n$$\n\\def\\arraystretch{1.5}\\begin{array}{|c|c|c|c|}\\hline\n\\textbf{Subtask} & t= & n\\le&\\bm{\\textbf{Score}} \\cr\\hline\n1 & 10&10^6 & 2 \\cr\\hline\n2&1000&10^6&13\\cr\\hline\n3&100&10^9&15\\cr\\hline\n4 &1000&10^{18}&40\\cr\\hline\n5 &%\\text{No Special Constraints}\n5\\times10^5&10^{18}& 30 \\cr\\hline\n\\end{array}\n$$\n\n对于 $100\\%$ 的数据，$10 \\le t \\le 5\\times10^5$，$1 \\le n \\le 10^{18}$。\n\n### 计分规则\n\n本题采用 $\\textbf{Special Judge}$，令你输出的答案为 $\\text{pans}$，标答答案为 $\\text{jans}$，如果 $\\vert \\text{pans}-\\text{jans}\\vert<\\text{jans}\\times10^{-5}$ 那么该组数据通过，在一个测试点内只有所有 $t$ 组数据通过该测试点才算通过。\n\n注意后一个 $\\text{Subtask}$ 对前一个 $\\text{Subtask}$ 有依赖关系，即如果你没有在前一个 $\\text{Subtask}$ 拿到分，那么你即使通过后一个 $\\text{Subtask}$ 的所有测试点，你也无法拿到后面的分数。","is_translate":false,"language":"English"}],"meta":{"iden":"LGP8574","tags":["Special Judge","O2优化"],"sample_group":[["7\n1\n5\n12\n95\n2040\n1145141920209\n1070909051","1.000000\n4.000000\n6.500000\n38.666667\n403.857143\n1475989956.412959\n1.000000"]],"created_at":"2026-03-03 11:09:25"}}