{"problem":{"name":"[NOIP 2006 提高组] 2^k 进制数","description":{"content":"设 $r$ 是个 $2^k$ 进制数，并满足以下条件： - $r$ 至少是个 $2$ 位的 $2^k$ 进制数。 - 作为 $2^k$ 进制数，除最后一位外，$r$ 的每一位严格小于它右边相邻的那一位。 - 将 $r$ 转换为二进制数 $q$ 后，则 $q$ 的总位数不超过 $w$。 在这里，正整数 $k,w$ 是事先给定的。 问：满足上述条件的不同的 $r$ 共有多少个？ 我们再从另","description_type":"Markdown"},"platform":"Luogu","limit":{"time_limit":1000,"memory_limit":128000},"difficulty":{"LuoguStyle":"P5"},"is_remote":true,"is_sync":true,"sync_url":null,"sign":"LGP1066"},"statements":[{"statement_type":"Markdown","content":"设 $r$ 是个 $2^k$ 进制数，并满足以下条件：\n\n- $r$ 至少是个 $2$ 位的 $2^k$ 进制数。\n\n- 作为 $2^k$ 进制数，除最后一位外，$r$ 的每一位严格小于它右边相邻的那一位。\n\n- 将 $r$ 转换为二进制数 $q$ 后，则 $q$ 的总位数不超过 $w$。\n\n在这里，正整数 $k,w$ 是事先给定的。\n\n问：满足上述条件的不同的 $r$ 共有多少个？\n\n我们再从另一角度作些解释：设 $S$ 是长度为 $w$ 的 $01$ 字符串（即字符串 $S$ 由 $w$ 个 $0$ 或 $1$ 组成），$S$ 对应于上述条件三中的 $q$。将 $S$ 从右起划分为若干个长度为 $k$ 的段，每段对应一位 $2^k$ 进制的数，如果 $S$ 至少可分成 $2$ 段，则 $S$ 所对应的二进制数又可以转换为上述的 $2^k$ 进制数 $r$。\n\n例：设 $k=3,w=7$。则 $r$ 是个八进制数（$2^3=8$）。由于 $w=7$，长度为 $7$ 的 $01$ 字符串按 $3$ 位一段分，可分为 $3$ 段（即 $1,3,3$，左边第一段只有一个二进制位），则满足条件的八进制数有：\n\n$2$ 位数：  \n高位为 $1$：$6$ 个（即 $12,13,14,15,16,17$）,   \n高位为 $2$：$5$ 个，  \n…，  \n高位为 $6$：$1$ 个（即 $67$）。  \n共 $6+5+…+1=21$ 个。\n\n$3$ 位数：  \n高位只能是 $1$，  \n第 $2$ 位为 $2$：$5$ 个（即 $123,124,125,126,127$），  \n第 $2$ 位为 $3$：$4$ 个，  \n…，    \n第 $2$ 位为 $6$：$1$ 个（即 $167$）。  \n共 $5+4+…+1=15$ 个。\n\n所以，满足要求的 $r$ 共有 $36$ 个。\n\n## Input\n\n一行两个正整数 $k,w$ 用一个空格隔开：\n\n## Output\n\n一行一个个正整数，为所求的计算结果。  \n即满足条件的不同的 $r$ 的个数（用十进制数表示），要求不得有前导零，各数字之间不得插入数字以外的其他字符（例如空格、换行符、逗号等）。\n\n（提示：作为结果的正整数可能很大，但不会超过 $200$ 位）\n\n[samples]\n\n## Note\n\n【数据范围】  \n$1\\le k \\le 9$    \n$1\\le w \\le 3\\times 10^4$\n\nNOIP 2006 提高组 第四题","is_translate":false,"language":"English"}],"meta":{"iden":"LGP1066","tags":["数学","高精度","递推","2006","NOIP 提高组","数位 DP","进制","组合数学"],"sample_group":[["3 7","36"]],"created_at":"2026-03-03 11:09:25"}}