{"problem":{"name":"[NOIP 2005 普及组] 循环","description":{"content":"乐乐是一个聪明而又勤奋好学的孩子。他总喜欢探求事物的规律。一天，他突然对数的正整数次幂产生了兴趣。 众所周知，$2$ 的正整数次幂最后一位数总是不断的在重复 $2,4,8,6,2,4,8,6…$ 我们说 $2$ 的正整数次幂最后一位的循环长度是 $4$（实际上 $4$ 的倍数都可以说是循环长度，但我们只考虑最小的循环长度）。类似的，其余的数字的正整数次幂最后一位数也有类似的循环现象： $$ ","description_type":"Markdown"},"platform":"Luogu","limit":{"time_limit":1000,"memory_limit":128000},"difficulty":{"LuoguStyle":"P5"},"is_remote":true,"is_sync":true,"sync_url":null,"sign":"LGP1050"},"statements":[{"statement_type":"Markdown","content":"乐乐是一个聪明而又勤奋好学的孩子。他总喜欢探求事物的规律。一天，他突然对数的正整数次幂产生了兴趣。\n\n众所周知，$2$ 的正整数次幂最后一位数总是不断的在重复 $2,4,8,6,2,4,8,6…$ 我们说 $2$ 的正整数次幂最后一位的循环长度是 $4$（实际上 $4$ 的倍数都可以说是循环长度，但我们只考虑最小的循环长度）。类似的，其余的数字的正整数次幂最后一位数也有类似的循环现象：\n\n$$\n\\def\\arraystretch{1.5}\n\\begin{array}{c|c|c}\\hline\n\\textbf{数字}& \\textbf{循环} & \\textbf{循环长度} \\cr\\hline\\hline\n2 & 2,4,8,6 & 4\\cr\\hline\n3 & 3,9,7,1 & 4\\cr\\hline\n4 & 4,6 & 2\\cr\\hline\n5 & 5 &  1\\cr\\hline\n6 & 6 & 1\\cr\\hline\n7 & 7,9,3,1 & 4\\cr\\hline\n8 & 8,4,2,6 & 4\\cr\\hline\n9 & 9,1 & 2\\cr\\hline\n\\end{array}\n$$\n\n这时乐乐的问题就出来了：是不是只有最后一位才有这样的循环呢？对于一个整数 $n$ 的正整数次幂来说，它的后 $k$ 位是否会发生循环？如果循环的话，循环长度是多少呢？\n\n注意：\n\n1. 如果 $n$ 的某个正整数次幂的位数不足 $k$，那么不足的高位看做是 $0$。\n2. 如果循环长度是 $L$，那么说明对于任意的正整数 $a$，$n$ 的 $a$ 次幂和 $a+L$ 次幂的最后 $k$ 位都相同。\n\n## Input\n\n共一行，包含两个整数 $n$ 和 $k$。$n$ 和 $k$ 之间用一个空格隔开，表示要求 $n$ 的正整数次幂的最后 $k$ 位的循环长度。\n\n## Output\n\n一个整数，表示循环长度。如果循环不存在，输出 $-1$。\n\n[samples]\n\n## Note\n\n**【数据范围】**\n\n对于 $30 \\%$ 的数据，满足 $k \\le 4$；  \n对于 $100 \\%$ 的数据，满足 $1 \\le n < {10}^{100}$，$1 \\le k \\le 100$。\n\n**【题目来源】**\n\nNOIP 2005 普及组第四题","is_translate":false,"language":"English"}],"meta":{"iden":"LGP1050","tags":["模拟","字符串","数学","高精度","递推","2005","NOIP 普及组"],"sample_group":[["32 2","4"]],"created_at":"2026-03-03 11:09:25"}}