{"problem":{"name":"[YDOI R1] Necklace","description":{"content":"hdkk 有 $n$ 种颜色的珠子，每种珠子有 $a_i$ 颗，他可以选出任意颗珠子串成一串项链。 每种珠子有一个漂亮值 $v_i$，hdkk 认为项链有一个美丽度，若第 $i$ 种珠子在项链中有 $cnt$ 颗并且 $cnt\\ge1$，则这串项链的美丽度会加上 $(v_i)^{cnt}$。 现在他想知道，所有不同的项链的美丽度总和是多少，请你求出答案，并对 $10^9+7$ 取模。 定","description_type":"Markdown"},"platform":"Luogu","limit":{"time_limit":1000,"memory_limit":524288},"difficulty":{"LuoguStyle":"P4"},"is_remote":true,"is_sync":true,"sync_url":null,"sign":"LGP10185"},"statements":[{"statement_type":"Markdown","content":"hdkk 有 $n$ 种颜色的珠子，每种珠子有 $a_i$ 颗，他可以选出任意颗珠子串成一串项链。\n\n每种珠子有一个漂亮值 $v_i$，hdkk 认为项链有一个美丽度，若第 $i$ 种珠子在项链中有 $cnt$ 颗并且 $cnt\\ge1$，则这串项链的美丽度会加上 $(v_i)^{cnt}$。\n\n现在他想知道，所有不同的项链的美丽度总和是多少，请你求出答案，并对 $10^9+7$ 取模。\n\n定义两串项链是不同的，当且仅当存在一颗珠子，它在一串项链中出现，在另一串中没有出现。\n\n注意：每颗珠子都是互不相同的，即使颜色一样。\n\n## Input\n\n第 $1$ 行有 $1$ 个正整数 $n$。\n\n第 $2$ 行有 $n$ 个整数，第 $i$ 个数表示 $a_i$。\n\n第 $3$ 行有 $n$ 个整数，第 $i$ 个数表示 $v_i$。\n\n## Output\n\n一个整数，所有不同项链的美丽度的总和对 $10^9+7$ 取模的结果。\n\n[samples]\n\n## Background\n\nhdkk 正在做项链。\n\n## Note\n\n### 样例解释 #1\n\n颜色 $1$：$\\left\\{1\\right\\}$，颜色 $2$：$\\left\\{2,3\\right\\}$。\n\n共有 $7$ 种不同的项链：$\\left \\{1 \\right \\},\\left \\{2\\right \\},\\left \\{3\\right \\},\\left \\{1,2 \\right \\},\\left \\{1,3 \\right \\},\\left \\{2,3 \\right \\},\\left \\{1,2,3 \\right \\}$，美丽度总和为 $2+3+3+(2+3)+(2+3)+3^2+(2+3^2)=38$。\n\n**本题采用捆绑测试。**\n\n|子任务编号|$n\\le$|$a_i\\le$|分值|\n|:--:|:--:|:--:|:--:|\n|$1$|$4$|$5$|$15$|\n|$2$|$10^3$|$10^3$|$25$|\n|$3$|$2\\times10^5$|$10^9$|$60$|\n\n对于所有数据，保证 $1\\le n\\le2\\times10^5$，$1\\le a_i\\le10^9$，$1\\le v_i\\le10^9$。","is_translate":false,"language":"English"}],"meta":{"iden":"LGP10185","tags":["数学","组合数学","二项式定理"],"sample_group":[["2\n1 2\n2 3 ","38"],["2\n18 2\n9 1","786624"]],"created_at":"2026-03-03 11:09:25"}}