{"problem":{"name":"[GDKOI2023 提高组] 马戏团里你最忙","description":{"content":"你正在马戏团里表演一个节目。 有一个数字，初始是 $x_0$。进行 $K$ 次操作，第 $i$ 次操作从 $[0, 2^n)$ 均匀随机一个数字 $x$，$x_i$ 有 $p$ 的概率是 $x_{i - 1} \\operatorname{or} x$，有 $1 - p$ 的概率是 $x_{i - 1} \\operatorname{and} x$。 一种方案的权值是 $\\sum_{i=1}^k ","description_type":"Markdown"},"platform":"Luogu","limit":{"time_limit":2000,"memory_limit":1048576},"difficulty":{"LuoguStyle":"P7"},"is_remote":true,"is_sync":true,"sync_url":null,"sign":"LGP10106"},"statements":[{"statement_type":"Markdown","content":"你正在马戏团里表演一个节目。\n\n有一个数字，初始是 $x_0$。进行 $K$ 次操作，第 $i$ 次操作从 $[0, 2^n)$ 均匀随机一个数字 $x$，$x_i$ 有 $p$ 的概率是 $x_{i - 1} \\operatorname{or} x$，有 $1 - p$ 的概率是 $x_{i - 1} \\operatorname{and} x$。\n\n一种方案的权值是 $\\sum_{i=1}^k c_{x_{i}}$。对每个 $i \\in [0, 2^n)$ 求出，$x_K = i$ 的所有方案中，权值乘概率之和，对 $998244353$ 取模。\n\n## Input\n\n第一行四个整数 $n, p', K, x_0$。$p'$ 为 $p$ 在模 $998244353$ 意义下的值。\n\n第二行 $2^n$ 个整数，第 $i$ 个表示 $c_{i - 1}$。\n\n## Output\n\n输出一行 $2^n$ 个用空格隔开整数，第 $i$ 个表示 $x_K = i - 1$ 的所有方案中，权值乘概率之和，对 $998244353$ 取模。\n\n[samples]\n\n## Note\n\n对于 20% 的数据，满足 $K ≤ 20$。\n\n对于 40% 的数据，满足 $K ≤ 10^3$。\n\n对于另外 10% 的数据，满足 $n = 1$。\n\n对于另外 10% 的数据，满足 $n ≤ 8$。\n\n对于另外 10% 的数据，满足 $p' = 499122177$。\n\n对于另外 10% 的数据，满足 $c_i = 1$。\n\n对于 100% 的数据，满足 $0 ≤ n ≤ 17$，$ 1 ≤ K ≤ 10^9$，$ 0 ≤ x_0 < 2^n$，$ 0 ≤ p', c_i < 998244353$。","is_translate":false,"language":"English"}],"meta":{"iden":"LGP10106","tags":["2023","广东"],"sample_group":[["2 499122177 2 1\n1 1 1 1","374341633 374341633 873463809 374341633\n"],["2 332748118 10 0\n1 2 4 8","178690412 406663623 594339846 223292982"]],"created_at":"2026-03-03 11:09:25"}}