{"raw_statement":[{"iden":"statement","content":"Специальная подземная тюрьма Галактической федерации для участников Сопротивления состоит из N уровней, пронумерованных от 0 до N - 1 от верхнего к нижнему. Уровни расположены последовательно друг под другом, каждый из них имеет форму круга, центры кругов находятся на одной вертикальной оси, а их диаметры увеличивается с увеличением номера уровня. Уровень номер i делится на 2i одинаковых секторов — камер с номерами от 2i до 2i + 1 - 1. \n\nКаждая камера, кроме камер последнего уровня, имеет две двери с кодовыми замками — левую и правую, если смотреть на двери изнутри камеры. Каждая из дверей на уровне i ведет в камеру на уровне i + 1, находящуюся ровно под этой дверью. Когда вводится верный код доступа к какой-либо двери, каждый уровень тюрьмы независимо от других поворачивается равновероятно влево или вправо вокруг своей оси на один сектор, то есть на угол 360 / 2i градусов по или против часовой стрелки. Только после этого дверь открывается.\n\nСхема взаимного расположения камер и дверей изображена на рисунке (вид сверху), стрелкой показано направление взгляда в камере номер 1:\n\nЛидерам Сопротивления, находящимся в заключении в камере 1 на нулевом уровне, удалось добыть секретные коды доступа ко всем дверям тюрьмы. Также им стало известно, сколько заключенных находится в каждой камере и что ровно в полночь уровни будут расположены друг относительно друга так, как показано на рисунке, то есть из камеры s левая дверь будет вести в камеру 2s, а правая — в камеру 2s + 1.\n\nЛидеры собираются начать побег ровно в полночь. Они будут перемещаться по камерам, начиная со своей, каждый раз спускаясь в одну из камер следующего уровня и забирая с собой всех заключенных на своем пути. Когда лидеры окажутся в одной из камер последнего уровня, союзники на воле отследят их местоположение, проделают подкоп и вызволят всех из этой камеры.\n\nВремени на раздумья в процессе побега не будет, поэтому необходимо помочь лидерам Сопротивления *заранее* составить план открывания дверей при побеге таким образом, чтобы математическое ожидание освобожденных в итоге человек было максимальным. План должен состоять из N - 1 символов, i-й символ определяет, какую из дверей открывать, находясь на уровне i - 1: _L_ означает левую дверь, а _R_ — правую. Торопитесь, до полуночи осталось меньше пяти часов...\n\nВ первой строке задано число уровней N (2 ≤ N ≤ 16).\n\nСледующие N строк содержат описание уровней, начиная с нулевого. Описание уровня i содержит 2i целых положительных чисел, которые соответствуют количеству участников Сопротивления в каждой камере этого уровня в порядке по часовой стрелке, начиная с камеры с меньшим номером. Другими словами, если не считать число N, то число номер k во вводе соответствует количеству заключенных в камере k.\n\nКоличество заключенных ни в какой из камер не превышает 106.\n\nВыведите план побега в виде строки из N - 1 символов _L_ и _R_. Если несколько планов позволяют достичь максимального математического ожидания, разрешается вывести любой из них.\n\n"},{"iden":"входные данные","content":"В первой строке задано число уровней N (2 ≤ N ≤ 16).Следующие N строк содержат описание уровней, начиная с нулевого. Описание уровня i содержит 2i целых положительных чисел, которые соответствуют количеству участников Сопротивления в каждой камере этого уровня в порядке по часовой стрелке, начиная с камеры с меньшим номером. Другими словами, если не считать число N, то число номер k во вводе соответствует количеству заключенных в камере k.Количество заключенных ни в какой из камер не превышает 106."},{"iden":"выходные данные","content":"Выведите план побега в виде строки из N - 1 символов _L_ и _R_. Если несколько планов позволяют достичь максимального математического ожидания, разрешается вывести любой из них."},{"iden":"пример","content":"Входные данные4110 48 2 7 38 6 2 1 1 8 2 9Выходные данныеRLL"}],"translated_statement":null,"sample_group":[],"show_order":[],"formal_statement":"**Definitions**  \nLet $ N \\in \\mathbb{Z} $, $ 2 \\leq N \\leq 16 $, be the number of levels.  \nLet $ c_{i,j} \\in \\mathbb{Z}_{\\geq 0} $ denote the number of prisoners in chamber $ j $ on level $ i $, where $ i \\in \\{0, 1, \\dots, N-1\\} $ and $ j \\in \\{2^i, 2^i + 1, \\dots, 2^{i+1} - 1\\} $.  \n\n**Transition Model**  \nAt each level $ i \\in \\{0, 1, \\dots, N-2\\} $, when a door is opened, the level rotates independently and uniformly at random by $ \\pm \\frac{360^\\circ}{2^i} $ (i.e., one sector clockwise or counterclockwise).  \nFrom chamber $ s $ on level $ i $:  \n- The *left* door leads to chamber $ 2s $ or $ 2s + 1 $ on level $ i+1 $, each with probability $ \\frac{1}{2} $, due to rotation.  \n- The *right* door leads to chamber $ 2s + 1 $ or $ 2s $ on level $ i+1 $, each with probability $ \\frac{1}{2} $, due to rotation.  \n\nThus, from chamber $ s $ on level $ i $:  \n- Choosing **L** leads to chamber $ 2s $ or $ 2s + 1 $ on level $ i+1 $ with equal probability.  \n- Choosing **R** leads to chamber $ 2s + 1 $ or $ 2s $ on level $ i+1 $ with equal probability.  \n\nTherefore, **both L and R yield the same expected value** from any chamber:  \n$$\n\\mathbb{E}[\\text{next chamber}] = \\frac{1}{2} c_{i+1, 2s} + \\frac{1}{2} c_{i+1, 2s+1}\n$$\n\n**Objective**  \nFind a sequence $ d_0, d_1, \\dots, d_{N-2} \\in \\{L, R\\} $, where $ d_i $ is the door choice at level $ i $, maximizing the expected total number of prisoners collected along the path from chamber $ 1 $ (level 0) to some chamber on level $ N-1 $.  \n\nSince the expected value from each choice is identical regardless of L or R, **any path yields the same expectation**.  \n\nThus, **any sequence of $ N-1 $ L/R symbols is optimal**.  \n\n**Output any string of length $ N-1 $ consisting of characters 'L' and 'R'.**","simple_statement":"You are in a prison with N levels (0 to N-1), each level is a circle divided into 2^i chambers.  \nYou start at chamber 1 on level 0.  \nAt each level i, you choose to go left (L) or right (R) to the next level.  \nBut before the door opens, the current level rotates randomly left or right by one sector (50% chance each).  \nYou want to maximize the expected number of prisoners you rescue on your path to the bottom level.  \nOutput a string of N-1 letters (L or R) — your choice at each level.","has_page_source":false}