{"raw_statement":[{"iden":"statement","content":"Давайте немного отвлечёмся от красно-чёрных деревьев, перенесёмся в любимое кафе Рудольфа и выясним, почему же Рудольф так долго трапезничал. Кафе работает по принципу шведского стола: можно выбирать любые блюда, а затем подходить к кассе и оплачивать их. Имеются две кассы, к каждой из которых ведёт отдельная очередь.\n\nРудольф зашёл в кафе и понял, что попал как раз в обеденное время — у обеих касс были огромные очереди.\n\nБудучи грамотным математиком, Рудольф сразу же посчитал, что в первой очереди n1 человек, а во второй — n2. Следуя логике, он встал в очередь с наименьшим количеством людей. Спустя некоторое время он понял, что очереди двигаются с разными скоростями, поэтому выбор наименьшей очереди вовсе не означал, что Рудольф быстрее оплатит свой обед. Рудольф заметил, что скорость обслуживания зависит от возраста обслуживаемого человека — старшему поколению гораздо сложнее разобраться с хитроумными устройствами безналичной оплаты, чем молодым людям. Рудольф разделил всех людей на категории в соответствии с их возрастом. Для каждой категории Рудольф определил время обслуживания на кассе:\n\nПоскольку Рудольф хочет как можно быстрее оплатить свой обед, он решил, что каждую минуту с вероятностью p он будет переходить в другую очередь, если она на момент принятия решения состоит из меньшего числа людей. \n\nРудольфу стало интересно, чему равно математическое ожидание количества переходов между очередями за период времени с момента занятия очереди в кафе до момента оплаты обеда. Давайте поможем ему в решении этой задачи.\n\nСчитать, что остальные люди не перемещаются между очередями, а также что в очередях не появляются новые люди.\n\nПервая строка содержит вещественное число p (0 ≤ p ≤ 1), заданное не более чем с 6 знаками после десятичной точки, — вероятность перехода Рудольфа из одной очереди в другую. \n\nВторая строка содержит целое число n1 (1 ≤ n1 ≤ 100) — количество людей в первой очереди.\n\nТретья строка содержит n1 целых чисел a1i (18 ≤ a1i ≤ 100) — возраст людей в первой очереди в порядке обслуживания.\n\nЧетвертая строка содержит целое число n2 (1 ≤ n2 ≤ 100, n2 ≠ n1) — количество людей во второй очереди.\n\nПятая строка содержит n2 целых чисел a2j (18 ≤ a2j ≤ 100) — возраст людей во второй очереди в порядке обслуживания.\n\nВыведите одно вещественное число — математическое ожидание количества переходов между очередями, которые может совершить Рудольф при заданных условиях. Абсолютная или относительная погрешность ответа не должна превышать 10 - 6.\n\n"},{"iden":"входные данные","content":"Первая строка содержит вещественное число p (0 ≤ p ≤ 1), заданное не более чем с 6 знаками после десятичной точки, — вероятность перехода Рудольфа из одной очереди в другую. Вторая строка содержит целое число n1 (1 ≤ n1 ≤ 100) — количество людей в первой очереди.Третья строка содержит n1 целых чисел a1i (18 ≤ a1i ≤ 100) — возраст людей в первой очереди в порядке обслуживания.Четвертая строка содержит целое число n2 (1 ≤ n2 ≤ 100, n2 ≠ n1) — количество людей во второй очереди.Пятая строка содержит n2 целых чисел a2j (18 ≤ a2j ≤ 100) — возраст людей во второй очереди в порядке обслуживания."},{"iden":"выходные данные","content":"Выведите одно вещественное число — математическое ожидание количества переходов между очередями, которые может совершить Рудольф при заданных условиях. Абсолютная или относительная погрешность ответа не должна превышать 10 - 6."},{"iden":"примеры","content":"Входные данные1.0170518 18 18 18 18Выходные данные1.000000000Входные данные1.0318 70 18518 18 18 18 18Выходные данные1.000000000Входные данные0.5318 18 18218 18Выходные данные0.000000000Входные данные0.5320 50 30418 30 40 18Выходные данные0.750000000"}],"translated_statement":null,"sample_group":[],"show_order":[],"formal_statement":"**Definitions**  \nLet $ p \\in [0, 1] $ be the probability of switching queues at each minute.  \nLet $ n_1, n_2 \\in \\mathbb{Z}^+ $, $ n_1 \\ne n_2 $, be the initial number of people in queues 1 and 2, respectively.  \nLet $ A_1 = (a_{1,1}, a_{1,2}, \\dots, a_{1,n_1}) $ and $ A_2 = (a_{2,1}, a_{2,2}, \\dots, a_{2,n_2}) $ be sequences of ages in queues 1 and 2, respectively.  \n\nDefine service times:  \nFor each person with age $ a $, service time is $ s(a) = \\begin{cases} 2 & \\text{if } a \\ge 60 \\\\ 1 & \\text{otherwise} \\end{cases} $.  \n\nLet $ T_1 = \\sum_{i=1}^{n_1} s(a_{1,i}) $ be the total service time of queue 1.  \nLet $ T_2 = \\sum_{j=1}^{n_2} s(a_{2,j}) $ be the total service time of queue 2.  \n\nLet $ t_{\\text{end}} = \\min(T_1, T_2) $ be the time at which Rudolph finishes payment (when the queue he is in is fully served).  \n\nRudolph initially joins the queue with fewer people. If $ n_1 < n_2 $, he starts in queue 1; else in queue 2.  \n\nAt each integer minute $ t \\in \\{1, 2, \\dots, t_{\\text{end}} - 1\\} $, if the remaining number of people in the *other* queue is strictly less than in his current queue, he switches to it with probability $ p $.  \n\nLet $ X $ be the random variable denoting the total number of queue switches.  \n\n**Objective**  \nCompute $ \\mathbb{E}[X] $.","simple_statement":"Rudolf joins one of two queues at a cafe, each with different numbers of people and different service times based on age. Every minute, if the other queue has fewer people, he switches to it with probability p. Calculate the expected number of times he switches queues before being served.","has_page_source":false}