{"raw_statement":[{"iden":"statement","content":"Парадокс Монти Холла — одна из известных задач теории вероятностей, решение которой, на первый взгляд, противоречит здравому смыслу.\n\nПредставьте, что вы стали участником игры, в которой вам нужно выбрать одну из трёх дверей. За одной из дверей находится автомобиль, за двумя другими дверями — козы. Вы выбираете одну из дверей, например, номер 1, после этого ведущий, который знает, где находится автомобиль, а где — козы, открывает одну из оставшихся дверей, например, номер 3, за которой находится коза. После этого он спрашивает вас — не желаете ли вы изменить свой выбор и выбрать дверь номер 2? Увеличатся ли ваши шансы выиграть автомобиль, если вы примете предложение ведущего и измените свой выбор?\n\nС одной стороны, после того, как ведущий открыл дверь, осталось две закрытых двери - и вы можете ошибочно предположить, что вероятность автомобиля за каждой — . Объяснение простое — изначально вероятность нахождения автомобиля за каждой из дверей — , и она осталась такой после того, как ведущий открыл одну из оставшихся дверей. Соответственно при таком раскладе автомобиль находится за выбранной вами дверью с вероятностью  и за оставшейся с вероятностью .\n\nПриведем еще более наглядный пример: у вас есть тысяча дверей, вам разрешено выбрать одну, после чего ведущий открывает 998 из 999 оставшихся дверей. Вероятность того, что автомобиль за вашей дверью — . Соответственно, вероятность, что автомобиль находится за одной из оставшихся 999 равна . А т.к. из оставшихся ведущий нам оставил лишь одну дверь, то именно на нее приходится эта вероятность.\n\nТеперь перейдем к нашей задаче, перед вами n дверей - вам разрешено открыть k из них, после этого ведущий обязательно откроет m (m < n - k) из оставшихся дверей, после чего предложит поменять любое количество выбранных дверей. Какая вероятность вашего выигрыша при оптимальной стратегии?\n\nВ единственной строке даны три числа n, k, m (1 ≤ n, k, m ≤ 105, k + m < n).\n\nВ единственной строке выведите вероятность своей победы при оптимальном выборе. Абсолютная или относительная погрешность не должна превышать 10 - 6.\n\n"},{"iden":"входные данные","content":"В единственной строке даны три числа n, k, m (1 ≤ n, k, m ≤ 105, k + m < n)."},{"iden":"выходные данные","content":"В единственной строке выведите вероятность своей победы при оптимальном выборе. Абсолютная или относительная погрешность не должна превышать 10 - 6."},{"iden":"примеры","content":"Входные данные3 1 1Выходные данные0.6666666666666667Входные данные1000 1 998Выходные данные0.999Входные данные5000 2345 1234Выходные данные0.7158"}],"translated_statement":null,"sample_group":[],"show_order":[],"formal_statement":"**Definitions**  \nLet $ n, k, m \\in \\mathbb{Z}^+ $ such that $ 1 \\leq k, m \\leq 10^5 $, $ k + m < n $.  \n\n**Setup**  \n- There are $ n $ doors, behind exactly one of which is a car; the rest hide goats.  \n- The player initially selects $ k $ distinct doors.  \n- The host, who knows the location of the car, opens exactly $ m $ of the remaining $ n - k $ doors, all revealing goats.  \n- The player may then switch any number of their initially chosen doors to any of the unopened, unselected doors (i.e., the $ n - k - m $ remaining closed doors).  \n\n**Objective**  \nCompute the maximum probability of selecting the door with the car under the optimal switching strategy.  \n\n**Optimal Strategy**  \nThe optimal strategy is to switch all $ k $ initial choices to the remaining $ n - k - m $ unopened doors, uniformly at random.  \n\n**Probability**  \nLet $ P $ be the probability of winning under optimal play:  \n$$\nP = \\frac{k}{n} \\cdot 0 + \\left(1 - \\frac{k}{n}\\right) \\cdot \\frac{k}{n - k - m}\n= \\left(1 - \\frac{k}{n}\\right) \\cdot \\frac{k}{n - k - m}\n$$\n\nSimplify:  \n$$\nP = \\frac{n - k}{n} \\cdot \\frac{k}{n - k - m}\n= \\frac{k(n - k)}{n(n - k - m)}\n$$\n\n**Output**  \n$$\n\\boxed{\\frac{k(n - k)}{n(n - k - m)}}\n$$","simple_statement":"You are given n doors, behind one of which is a car, and behind the others are goats.  \nYou pick k doors.  \nThen the host, who knows what’s behind the doors, opens m doors (with goats) from the remaining n−k doors.  \nYou can then switch any number of your chosen doors to the remaining unopened ones.  \nWhat is the maximum probability of winning the car with the optimal strategy?","has_page_source":false}