{"raw_statement":[{"iden":"statement","content":"Вася очень любит астрономию. Он решил создать модель затмения одной планеты другой и сфотографировать это явление. Для этого он сделал две звезды и каждой звезде добавил планету, вращающуюся вокруг этой звезды. В проекции на плоскость объектива фотоаппарата можно считать, что планеты вращаются вокруг своих звезд по окружности с центром в соответствующей звезде, причем скорость вращения для каждой планеты постоянна (однако, скорости вращения планет, а так же радиусы орбит могут различаться между собой). Планеты вращаются вокруг звезд по часовой стрелке. Каждая планета в модели Васи представляет собой круг некоторого радиуса.\n\nВася установил начальное положение планет и звезд, после чего планеты пришли в движение по окружностям с соответствующими скоростями. Положение планет Вася считает «интересным», если проекция центра хотя бы одной планеты лежит на прямой, соединяющей проекции центров двух звезд. В процессе движения проекции кругов-планет могут пересекаться. Помогите Васе определить, какая наибольшая площадь пересечения проекций планет может быть во время «интересного» положения планет. Можно считать, что после начального положения планеты будут двигаться бесконечно долго в соответствии с описанными условиями.\n\nВ первой строке содержится единственное число D — расстояние между центрами звезд. Считается, что первая звезда имеет координаты (0, 0), а вторая — (D, 0). Во второй строке заданы четыре числа: X1, Y1 — начальные координаты первой планеты, R1 — радиус первой планеты, V1 — линейная скорость первой планеты. В третьей строке описана вторая планета в таком же формате.\n\nВсе числа целые и не превосходят 100 по абсолютному значению. Радиусы планет и скорости планет строго положительны. Число D неотрицательно. Начальное положение центра каждой планеты отличается от положения центра соответствующей ей звезды, однако, центр звезды может находиться внутри планеты достаточно большого радиуса (см. первый пример).\n\nВывести единственное число — максимальную возможную площадь пересечения проекций планет в «интересном» положении.\n\nВ первом примере начальное положение планет дает максимально возможную площадь пересечения.\n\nВо втором примере скорости планет и радиусы их орбит одинаковы, планеты движутся параллельно друг другу, не пересекаясь.\n\n"},{"iden":"входные данные","content":"В первой строке содержится единственное число D — расстояние между центрами звезд. Считается, что первая звезда имеет координаты (0, 0), а вторая — (D, 0). Во второй строке заданы четыре числа: X1, Y1 — начальные координаты первой планеты, R1 — радиус первой планеты, V1 — линейная скорость первой планеты. В третьей строке описана вторая планета в таком же формате.Все числа целые и не превосходят 100 по абсолютному значению. Радиусы планет и скорости планет строго положительны. Число D неотрицательно. Начальное положение центра каждой планеты отличается от положения центра соответствующей ей звезды, однако, центр звезды может находиться внутри планеты достаточно большого радиуса (см. первый пример)."},{"iden":"выходные данные","content":"Вывести единственное число — максимальную возможную площадь пересечения проекций планет в «интересном» положении."},{"iden":"примеры","content":"Входные данные51 0 2 13 0 2 3Выходные данные4.913478794Входные данные50 1 2 15 1 2 1Выходные данные0.000000000"},{"iden":"примечание","content":"В первом примере начальное положение планет дает максимально возможную площадь пересечения.Во втором примере скорости планет и радиусы их орбит одинаковы, планеты движутся параллельно друг другу, не пересекаясь."}],"translated_statement":null,"sample_group":[],"show_order":[],"formal_statement":"**Definitions**  \nLet $ D \\in \\mathbb{R}_{\\geq 0} $ be the distance between the centers of two stars, located at $ (0, 0) $ and $ (D, 0) $.  \nLet $ P_1 = (x_1, y_1) \\in \\mathbb{R}^2 $, $ r_1 > 0 $, $ v_1 > 0 $ be the initial position, radius, and linear speed of planet 1 orbiting star 1.  \nLet $ P_2 = (x_2, y_2) \\in \\mathbb{R}^2 $, $ r_2 > 0 $, $ v_2 > 0 $ be the initial position, radius, and linear speed of planet 2 orbiting star 2.  \n\nLet $ \\mathcal{O}_1 = \\{ (x,y) \\in \\mathbb{R}^2 : \\| (x,y) - (0,0) \\| = R_1 \\} $ be the orbital circle of planet 1, where $ R_1 = \\| P_1 \\| $.  \nLet $ \\mathcal{O}_2 = \\{ (x,y) \\in \\mathbb{R}^2 : \\| (x,y) - (D,0) \\| = R_2 \\} $ be the orbital circle of planet 2, where $ R_2 = \\| P_2 - (D,0) \\| $.  \n\nPlanet 1 moves along $ \\mathcal{O}_1 $ clockwise with angular speed $ \\omega_1 = \\frac{v_1}{R_1} $.  \nPlanet 2 moves along $ \\mathcal{O}_2 $ clockwise with angular speed $ \\omega_2 = \\frac{v_2}{R_2} $.  \n\nAt time $ t \\geq 0 $, the position of planet 1 is:  \n$$ C_1(t) = R_1 \\left( \\cos(\\theta_1 - \\omega_1 t), \\sin(\\theta_1 - \\omega_1 t) \\right), \\quad \\text{where } \\theta_1 = \\arg(P_1) $$  \nThe position of planet 2 is:  \n$$ C_2(t) = (D, 0) + R_2 \\left( \\cos(\\theta_2 - \\omega_2 t), \\sin(\\theta_2 - \\omega_2 t) \\right), \\quad \\text{where } \\theta_2 = \\arg(P_2 - (D,0)) $$  \n\nA time $ t $ is **\"interesting\"** if the projection of the center of at least one planet lies on the x-axis (line joining the stars), i.e.,  \n$$ y_{C_1}(t) = 0 \\quad \\text{or} \\quad y_{C_2}(t) = 0 $$  \n\n**Constraints**  \n1. $ D \\geq 0 $, $ r_1 > 0 $, $ r_2 > 0 $, $ v_1 > 0 $, $ v_2 > 0 $  \n2. All inputs are integers with absolute values $ \\leq 100 $  \n3. $ R_1 > 0 $, $ R_2 > 0 $, $ P_1 \\neq (0,0) $, $ P_2 \\neq (D,0) $  \n\n**Objective**  \nCompute the maximum area of intersection of the two circular disks:  \n$$ \\text{Area}(t) = \\text{Area}\\left( \\mathcal{D}(C_1(t), r_1) \\cap \\mathcal{D}(C_2(t), r_2) \\right) $$  \nover all **interesting** times $ t \\geq 0 $, where $ \\mathcal{D}(C, r) $ denotes the disk centered at $ C $ with radius $ r $.","simple_statement":"Two planets orbit two stars in a 2D plane, each moving in a circle around its star at constant speed. Find the maximum possible area of overlap between the two planetary disks when at least one planet lies on the line connecting the two stars.","has_page_source":false}