{"problem":{"name":"J. Затмение","description":{"content":"Вася очень любит астрономию. Он решил создать модель затмения одной планеты другой и сфотографировать это явление. Для этого он сделал две звезды и каждой звезде добавил планету, вращающуюся вокруг эт","description_type":"Markdown"},"platform":"Codeforces","limit":{"time_limit":2000,"memory_limit":262144},"difficulty":"None","is_remote":true,"is_sync":true,"sync_url":null,"sign":"CF10052J"},"statements":[{"statement_type":"Markdown","content":"Вася очень любит астрономию. Он решил создать модель затмения одной планеты другой и сфотографировать это явление. Для этого он сделал две звезды и каждой звезде добавил планету, вращающуюся вокруг этой звезды. В проекции на плоскость объектива фотоаппарата можно считать, что планеты вращаются вокруг своих звезд по окружности с центром в соответствующей звезде, причем скорость вращения для каждой планеты постоянна (однако, скорости вращения планет, а так же радиусы орбит могут различаться между собой). Планеты вращаются вокруг звезд по часовой стрелке. Каждая планета в модели Васи представляет собой круг некоторого радиуса.\n\nВася установил начальное положение планет и звезд, после чего планеты пришли в движение по окружностям с соответствующими скоростями. Положение планет Вася считает «интересным», если проекция центра хотя бы одной планеты лежит на прямой, соединяющей проекции центров двух звезд. В процессе движения проекции кругов-планет могут пересекаться. Помогите Васе определить, какая наибольшая площадь пересечения проекций планет может быть во время «интересного» положения планет. Можно считать, что после начального положения планеты будут двигаться бесконечно долго в соответствии с описанными условиями.\n\nВ первой строке содержится единственное число D — расстояние между центрами звезд. Считается, что первая звезда имеет координаты (0, 0), а вторая — (D, 0). Во второй строке заданы четыре числа: X1, Y1 — начальные координаты первой планеты, R1 — радиус первой планеты, V1 — линейная скорость первой планеты. В третьей строке описана вторая планета в таком же формате.\n\nВсе числа целые и не превосходят 100 по абсолютному значению. Радиусы планет и скорости планет строго положительны. Число D неотрицательно. Начальное положение центра каждой планеты отличается от положения центра соответствующей ей звезды, однако, центр звезды может находиться внутри планеты достаточно большого радиуса (см. первый пример).\n\nВывести единственное число — максимальную возможную площадь пересечения проекций планет в «интересном» положении.\n\nВ первом примере начальное положение планет дает максимально возможную площадь пересечения.\n\nВо втором примере скорости планет и радиусы их орбит одинаковы, планеты движутся параллельно друг другу, не пересекаясь.\n\n## Входные Данные\n\nВ первой строке содержится единственное число D — расстояние между центрами звезд. Считается, что первая звезда имеет координаты (0, 0), а вторая — (D, 0). Во второй строке заданы четыре числа: X1, Y1 — начальные координаты первой планеты, R1 — радиус первой планеты, V1 — линейная скорость первой планеты. В третьей строке описана вторая планета в таком же формате.Все числа целые и не превосходят 100 по абсолютному значению. Радиусы планет и скорости планет строго положительны. Число D неотрицательно. Начальное положение центра каждой планеты отличается от положения центра соответствующей ей звезды, однако, центр звезды может находиться внутри планеты достаточно большого радиуса (см. первый пример).\n\n## Выходные Данные\n\nВывести единственное число — максимальную возможную площадь пересечения проекций планет в «интересном» положении.\n\n## Примеры\n\nВходные данные51 0 2 13 0 2 3Выходные данные4.913478794Входные данные50 1 2 15 1 2 1Выходные данные0.000000000\n\n## Примечание\n\nВ первом примере начальное положение планет дает максимально возможную площадь пересечения.Во втором примере скорости планет и радиусы их орбит одинаковы, планеты движутся параллельно друг другу, не пересекаясь.\n\n[samples]","is_translate":false,"language":"English"},{"statement_type":"Markdown","content":"**Definitions**  \nLet $ D \\in \\mathbb{R}_{\\geq 0} $ be the distance between the centers of two stars, located at $ (0, 0) $ and $ (D, 0) $.  \nLet $ P_1 = (x_1, y_1) \\in \\mathbb{R}^2 $, $ r_1 > 0 $, $ v_1 > 0 $ be the initial position, radius, and linear speed of planet 1 orbiting star 1.  \nLet $ P_2 = (x_2, y_2) \\in \\mathbb{R}^2 $, $ r_2 > 0 $, $ v_2 > 0 $ be the initial position, radius, and linear speed of planet 2 orbiting star 2.  \n\nLet $ \\mathcal{O}_1 = \\{ (x,y) \\in \\mathbb{R}^2 : \\| (x,y) - (0,0) \\| = R_1 \\} $ be the orbital circle of planet 1, where $ R_1 = \\| P_1 \\| $.  \nLet $ \\mathcal{O}_2 = \\{ (x,y) \\in \\mathbb{R}^2 : \\| (x,y) - (D,0) \\| = R_2 \\} $ be the orbital circle of planet 2, where $ R_2 = \\| P_2 - (D,0) \\| $.  \n\nPlanet 1 moves along $ \\mathcal{O}_1 $ clockwise with angular speed $ \\omega_1 = \\frac{v_1}{R_1} $.  \nPlanet 2 moves along $ \\mathcal{O}_2 $ clockwise with angular speed $ \\omega_2 = \\frac{v_2}{R_2} $.  \n\nAt time $ t \\geq 0 $, the position of planet 1 is:  \n$$ C_1(t) = R_1 \\left( \\cos(\\theta_1 - \\omega_1 t), \\sin(\\theta_1 - \\omega_1 t) \\right), \\quad \\text{where } \\theta_1 = \\arg(P_1) $$  \nThe position of planet 2 is:  \n$$ C_2(t) = (D, 0) + R_2 \\left( \\cos(\\theta_2 - \\omega_2 t), \\sin(\\theta_2 - \\omega_2 t) \\right), \\quad \\text{where } \\theta_2 = \\arg(P_2 - (D,0)) $$  \n\nA time $ t $ is **\"interesting\"** if the projection of the center of at least one planet lies on the x-axis (line joining the stars), i.e.,  \n$$ y_{C_1}(t) = 0 \\quad \\text{or} \\quad y_{C_2}(t) = 0 $$  \n\n**Constraints**  \n1. $ D \\geq 0 $, $ r_1 > 0 $, $ r_2 > 0 $, $ v_1 > 0 $, $ v_2 > 0 $  \n2. All inputs are integers with absolute values $ \\leq 100 $  \n3. $ R_1 > 0 $, $ R_2 > 0 $, $ P_1 \\neq (0,0) $, $ P_2 \\neq (D,0) $  \n\n**Objective**  \nCompute the maximum area of intersection of the two circular disks:  \n$$ \\text{Area}(t) = \\text{Area}\\left( \\mathcal{D}(C_1(t), r_1) \\cap \\mathcal{D}(C_2(t), r_2) \\right) $$  \nover all **interesting** times $ t \\geq 0 $, where $ \\mathcal{D}(C, r) $ denotes the disk centered at $ C $ with radius $ r $.","is_translate":false,"language":"Formal"}],"meta":{"iden":"CF10052J","tags":[],"sample_group":[],"created_at":"2026-03-03 11:00:39"}}